Retas perpendiculares

Retas perpendiculares são duas retas cujo ângulo entre elas mede 90°. Se r e s são retas perpendiculares, então escrevemos $r⊥s$. Podemos identificar duas retas perpendiculares a partir de suas equações reduzidas, que apresentam o formato $y=mx+n$. Se $m_r$ é o coeficiente angular de r e $m_s$ é o coeficiente angular de s, então $m_r⋅m_s=-1$.

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Resumo sobre retas perpendiculares

• Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas é reto, ou seja, mede 90°.

• Escrevemos $r⊥s$ para denotar que r é perpendicular a s.

• Se r e s são retas perpendiculares, então vale a seguinte relação entre os coeficientes angulares de r $(m_r)$ e de s $(m_s)$:

$m_r=-\frac{1}{m_s }$

• Se r e s são retas perpendiculares, $a_r x+b_r y=c_r$ é a equação geral da reta r, e $a_s x+b_s y=c_s$ é a equação geral da reta s, então

$a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=0$

O que são retas perpendiculares?

Considere que as retas r e s estão contidas em um mesmo plano e se cruzam, ou seja, são concorrentes. Dizemos que r e s são perpendiculares se o ângulo entre elas é 90°. Notação: $r⊥s$ (lê-se “r é perpendicular a s”). Na representação gráfica, o ângulo reto é indicado por um pequeno quadrado.

Quais são as propriedades das retas perpendiculares?

• Propriedade 1: Como as retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, então por duas retas perpendiculares a um único plano. Em outras palavras, dadas duas retas perpendiculares, existe apenas um plano que as contém.

• Propriedade 2: Suponha que r, s e t são retas tais que r é perpendicular a s, e r é perpendicular a t. Então, s e t são retas paralelas, ou seja, são retas que não possuem pontos em comum.

Coeficiente angular de retas perpendiculares

Considere $y_r=m_r⋅x+n_r$ a equação reduzida da reta r e $y_s=m_s⋅x+n_s$ a equação reduzida da reta s. Assim, mr e ms são os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente.

Analisando a relação entre $m_r$ e $m_r$, podemos determinar se as retas r e s são perpendiculares ou não. Se r e s são retas perpendiculares, então

$m_r=-\frac{1}{m_s }$

Ou, de forma equivalente,

$m_r⋅m_s=-1$

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Como identificar duas retas perpendiculares entre si?

Vejamos como identificar duas retas perpendiculares entre si a partir de suas equações reduzidas.

Exemplo 1:

As retas $r: y=x-3$ e $s: y=-x + 7$ são perpendiculares?

Note que $m_r=1$ e $m_s=-1$ e

$m_r⋅m_s=1⋅(-1)=-1$

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Exemplo 2:

As retas $r: y=3x-7$ e $s: -6x+47$ são perpendiculares?

Observe que $m_r=3$ e $m_s=-6$ e

$m_r⋅m_s=3⋅(-6)=-18$

Portanto, as retas r e s não são perpendiculares.

Método prático para identificar retas perpendiculares

Outro modo de identificar se duas retas são perpendiculares entre si é verificar a relação entre os coeficientes das equações gerais. Considere $a_r x+b_r y=c_r$ a equação geral da reta r e $a_s x+b_s y=c_s$ a equação geral da reta s. Se r e s são retas perpendiculares, então

$a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=0$

Exemplo:

As retas $r: 5x+2y=14$ e $s: -2x+5y=-43$ são perpendiculares?

Perceba que $a_r=5$, $a_s=-2$, $b_r=2$ e $b_s=5$ e

$a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=5⋅(-2)+2⋅5 = -10 + 10=0$

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Saiba mais: Retas paralelas cortadas por uma transversal — ângulos e propriedades

Posições relativas entre retas

Considere que as retas r e s são distintas e estão contidas em um mesmo plano. Assim, r e s podem ser retas concorrentes ou paralelas.

• Retas concorrentes: r e s são concorrentes se possuem um ponto de intersecção. Se o ângulo entre r e s é 90°, as retas são perpendiculares.

• Retas paralelas: r e s são paralelas se não possuem nenhum ponto em comum.

Observação: duas retas que possuem todos os pontos em comum são chamadas de paralelas coincidentes ou apenas coincidentes.

Exercícios resolvidos sobre retas perpendiculares

Questão 1

Qual deve ser o valor de k para que as retas $r:y=2x-2$ e $s:y=kx+3$ sejam perpendiculares?

a) $-\frac{1}2$

b) $-\frac{1}3$

c) 1

d) 13

e) 12

Resolução

Note que k é o coeficiente angular da reta s e 2 é o coeficiente angular da reta r. Assim, para que r e s sejam perpendiculares,

$m_s=-\frac{1}{m_r }$

$k=-\frac{1}2$

Alternativa A.

Questão 2

(Ufam – adaptado) Considere as retas $r: -x+2y=10$ e $s:2x+y=5$. É correto afirmar que

a) as retas são paralelas.

b) as retas são perpendiculares.

c) as retas são concorrentes no ponto (5,0).

d) as retas são concorrentes no ponto (-10,0).

e) as retas são coincidentes.

Resolução

Note que o problema informa as equações gerais das retas r e s, em que $a_r=-1$, $a_s=2$, $b_r=2$ e $b_s=1$. Assim,

$a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=(-1)⋅2+2⋅1=-2+2=0$

Logo, r e s são retas perpendiculares.

Alternativa B.

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.