Centro de massa

O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se toda a massa estivesse concentrada nele. Sua posição depende da distribuição da massa no espaço e pode ser calculada pelas fórmulas que consideram as coordenadas ponderadas pela massa de cada partícula em cada eixo. No corpo humano, o centro de massa varia conforme a postura.

O centro de massa se distingue do centro de gravidade, que representa o ponto em que a força gravitacional pode ser considerada aplicada. A velocidade e a aceleração do centro de massa também podem ser determinadas por expressões semelhantes.

Além disso, o centro de massa serve para avaliar a estabilidade de um corpo, pois o tombamento ocorre quando sua projeção na base de apoio é ultraada.

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Resumo sobre o centro de massa

• O centro de massa é o ponto em que toda a massa de um sistema pode ser considerada concentrada. Sua posição depende da distribuição da massa no espaço.
• Para o eixo x: \(x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3 + \dots + m_n \cdot x_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \); para o eixo y: \(y_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3 + \dots + m_n \cdot y_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \); e para o eixo z: \(z_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot z_1 + m_2 \cdot z_2 + m_3 \cdot z_3 + \dots + m_n \cdot z_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \).
• O centro de massa do ser humano dependerá de como ele está posicionado.
• O tombamento de um corpo ocorre quando o centro de massa ultraa sua projeção na base de apoio.
• O centro de massa é o ponto em que a massa do corpo pode ser considerada concentrada, enquanto o centro de gravidade é onde a força gravitacional atua. Em corpos pequenos, os dois coincidem.

O que é o centro de massa?

O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

Tomando que um corpo é uma porção limitada de matéria, ou seja, é constituído por determinada quantidade de partículas, ao encontrarmos o centro de massa de um corpo, é possível equilibrá-lo de formas não convencionais, como vimos na primeira figura deste texto, mostrando que nem sempre o centro de massa estará posicionado onde há a presença da maior parte do corpo em si, pois dependerá de como a sua massa estará distribuída no espaço.

Qual a fórmula do centro de massa?

Para n partículas, a posição do centro de massa no eixo x é dada por:

\(x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3 + \dots + m_n \cdot x_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \)

Em que m é a massa da partícula e x é a sua posição no eixo x.

Da mesma forma, a posição do centro de massa no eixo y é:

\(y_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3 + \dots + m_n \cdot y_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \)

Em que m é a massa da partícula e y é a sua posição no eixo y.

Por fim, a posição do centro de massa no eixo z é também escrita como:

\(z_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot z_1 + m_2 \cdot z_2 + m_3 \cdot z_3 + \dots + m_n \cdot z_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \)

Em que m é a massa da partícula e z é a sua posição no eixo z.

Cálculo do centro de massa

O cálculo do centro de massa é feito por meio das suas fórmulas. Usemos a figura seguinte como exemplo de cálculo de centro de massa, em que temos dois corpos de massas M₁ = 2 kg e M₂ = 4 kg, separados por uma distância d = 2 m.

Vamos encontrar a posição do centro de massa do sistema nos eixos x e y. Primeiro, para o eixo x:

\(x_{\text{CM}} = \frac{2 \cdot 0 + 4 \cdot 2}{2 + 4} = \frac{8}{6} = 1,333 \, \text{m} \)

Agora para o eixo y:

\(y_{\text{CM}} = \frac{2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{2 + 4} = \frac{0}{6} = 0 \)

Centro de massa do corpo humano

O centro de massa do corpo humano dependerá de cada pessoa, de como a sua massa estará distribuída, bem como sua altura, suas curvaturas e posturas. Considerando um ser humano adulto médio de 70 kg, podemos ver na figura (a) que, em uma posição neutra, o centro de massa está localizado na região inguinal. Na figura (b), notamos que, com os braços levantados, o centro de massa sobe levemente para a região do umbigo. Na figura (c), com o corpo curvado e os braços direcionados para baixo, o centro de massa é deslocado para baixo e posicionado numa região em que não há parte do corpo.

Velocidade do centro de massa

Dada n partículas de massas m e velocidades v, a velocidade do centro de massa é dada pela fórmula:

\(v_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 + m_3 \cdot v_3 + \dots + m_n \cdot v_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \)

Aceleração do centro de massa

Dada n partículas de massas m e acelerações a, a aceleração do centro de massa é dada pela fórmula:

\(a_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a_2 + m_3 \cdot a_3 + \dots + m_n \cdot a_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n} \)

Centro de massa e estabilidade de tombamento

Por meio do centro de massa, podemos determinar o ângulo máximo em que um corpo pode se inclinar sem tombar. Uma forma de encontrar esse limite é calculando as coordenadas do centro de massa nos eixos e, em seguida, aplicando conceitos de trigonometria. O tombamento ocorre quando a posição do centro de massa ultraa sua projeção na base de apoio.

Diferenças entre centro de massa e centro de gravidade

• Centro de massa: é o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto.
• Centro de gravidade (ou baricentro) de um corpo: é o ponto onde pode ser considerada a aplicação da força da gravidade de todo o corpo.

Importante: Se as dimensões do corpo forem pequenas, em comparação ao tamanho do planeta Terra, o centro de gravidade coincidirá com o centro de massa.

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Exercícios resolvidos sobre centro de massa

Questão 1

No eixo x, qual a posição do centro de massa do sistema constituído das seguintes partículas: partícula de massa m₁ = 1 kg na posição x₁ = 1 m; partícula de massa m₂ = 2 kg na posição x₂ = 2 m; partícula de massa m₃ = 3 kg na posição x₃ = 3 m; e partícula de massa m₄ = 4 kg na posição x₄ = 4 m.

A)  0

B) 1 m

C) 2 m

D) 3 m

E) 4 m

Resolução:

Alternativa D.

Usando a fórmula do centro de massa no eixo x:

\(x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3 + m_4 \cdot x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{30}{10} = 3 \, \text{m} \)

Questão 2

Um sistema é constituído por quatro partículas de massa m = 2 kg. A partícula 1 está posicionada no ponto (-1, 0), a partícula 2 está posicionada no ponto (0, 1), a partícula 3 está posicionada no ponto (1, 0), e a partícula 4 está posicionada no ponto (0, -1). Qual a posição do centro de massa do sistema?

A) (0, 0)

B) (-1, 0)

C) (0, -1)

D) (1, 0)

E) (0, 1)

Resolução:

Alternativa A.

Usando a fórmula do centro de massa no eixo x:

\(x_{\text{CM}} = \frac{2 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}{2 + 2 + 2 + 2} = \frac{-2 + 0 + 2 + 0}{4} = \frac{0}{4} = 0 \)

Usando a fórmula do centro de massa no eixo y:

\(y_{\text{CM}} = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1)}{2 + 2 + 2 + 2} = \frac{0 + 2 + 0 - 2}{4} = \frac{0}{4} = 0 \)

Créditos de imagem

^[1] Walber / Wikimedia Commons (reprodução)

^[2] LucasAffonso grupo09 / Wikimedia Commons (reprodução)

^[3] MikeRun / Wikimedia Commons (reprodução)

Fontes

CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As faces da física (vol. único). 1. ed. Moderna, 1997.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica (vol. 1). 9 ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2012.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.